Решение задач по динамике

В классической физике, как было уже показано, состояние материальной точки полностью определяется ее координатами х, у, z. и компонентами скорости  в заданный момент времени, т.е. радиусом вектором частицы   и ее скоростью. С учетом указанных функциональных зависимостей второй закон Ньютона и имеет следующий вид:

 (3.14)

Если считать, что результирующая сила  как функция координат и времени известна, то уравнение (3.14) в математической классификации представляет собой векторное дифференциальное уравнение второго порядка по отношению к радиус-вектору  материальной точки.

Решая уравнение (3.14) с заданной правой частью, можно определить радиус-вектор тела в любой момент времени и, тем самым, установить вид траектории движения тела. При этом, исходя из принципа независимости движения, сложное векторное уравнение (3.14), определяющее в общем случае криволинейное движение тела, заменяют эквивалентной системой трех уравнений, каждое из которых одновременно описывает прямолинейное движение вдоль соответствующих осей х, у и z.

 (3.15)

где ,  и  - проекции вектора  на координатные оси. Координаты х, у и z определяют путем двух интегрирований уравнения (3.15). При каждом интегрировании возникает неопределенная постоянная. Поэтому для однозначного выделения закона движения следует уравнения движения дополнить двумя условиями, определяющими эти постоянные.

Эти условия фиксируют, задавая состояние материальной точки в какой-то (обычно в начальный) момент времени, т.е. указывая значения радиус-вектора  или координат  и скорости  при t=0. Таким образом, в результат интегрирования уравнений (3.15) получаем координаты х, у, z как функции времени и двух констант интегрирования:

Источник: physics-lectures.ru.